请解析欧拉公式 e^(iπ) + 1 = 0 的几何意义与级数展开证明。
✎ [思维链思考板书 · 耗时 12.4s]：
1. 泰勒级数展开：分别写出 e^x、sin(x) 与 cos(x) 在原点附近的展开式。
2. 代入虚数 x = iθ，由于 i^2=-1, i^3=-i，分离实部与虚部得到 e^(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)。
3. 当 θ = π 时，cos(π) = -1, sin(π) = 0，从而推导出 e^(iπ) = -1，即 e^(iπ) + 1 = 0。几何上代表在复平面旋转 π 弧度到达点 (-1, 0)。
1. 泰勒级数展开：分别写出 e^x、sin(x) 与 cos(x) 在原点附近的展开式。
2. 代入虚数 x = iθ，由于 i^2=-1, i^3=-i，分离实部与虚部得到 e^(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)。
3. 当 θ = π 时，cos(π) = -1, sin(π) = 0，从而推导出 e^(iπ) = -1，即 e^(iπ) + 1 = 0。几何上代表在复平面旋转 π 弧度到达点 (-1, 0)。
欧拉恒等式证明成立：该公式将自然常数 e、虚数单位 i、圆周率 π、单位 1 与 0 五大基础数学常数优美贯通。
